数式（2.8），p.19，は球対称の場合の拡散方程式の解です．
条件は，
時刻t=0で粒子を1秒あたりi個の割合で微小時間dtの間に注入する
です．
その解は，
\(\Large C (r, t) = \frac{N}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \)
となり，分母のべき乗が3/2となっています．
ここに，ｎ次元の拡散方程式の解法が掲載されています．
従って，ｎ次元拡散方程式の場合は，
\(\Large C_n (r, t) = \frac{N}{(4 \pi D t)^{n/2}} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \)
となるようです．
確かに，二，三次元の場合には，
\(\Large C_3 (r, t) = \frac{N}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \)
\(\Large r^2 = x^2+y^2+z^2 \)
となることから，
\(\Large \begin{align*} C_3 (r, t) &= \frac{N}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \\
&=
\frac{N}{(4 \pi D t)^{3/2}} e^{- \frac{ x^2+y^2+z^2}{4Dt}} \\
&=
N \left( \frac{1}{(4 \pi D t)^{1/2}} e^{- \frac{ x^2}{4Dt}} \right) \left( \frac{1}{(4 \pi D t)^{1/2}} e^{- \frac{ y^2}{4Dt}} \right) \left( \frac{1}{(4 \pi D t)^{1/2}} e^{- \frac{ z^2}{4Dt}} \right) \\
\end{align*} \)
となるので，それぞれの次元の積，ということでわかりやすいです．
では，規格化はされているのでしょうか？
規格化
規格化する場合には，
t=0でのみ粒子注入
全域で積分して1となる
となればいいので，
\(\Large P_n (r, t) = \frac{1}{(4 \pi D t)^{n/2}} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \)
を全域で積分すればいいのです．ここでPは確率密度となります．
一次元
一次元の場合は，
\(\Large P_1 (r, t) = \frac{1}{(4 \pi D t)^{1/2}} e^{- \frac{x^2}{4Dt}} \)
となるので，
\(\Large \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(4 \pi D t)^{1/2}} e^{- \frac{x^2}{4Dt}} dx =1 \)
となればいいわけですね．
公式，
\(\Large \int_{- \infty}^{\infty} e^{- ax^2} dx = \sqrt{ \frac{\pi}{a}} \)
を使って，
\(\Large a= \frac{1}{(4 D t)^{1/2}} \) なので，
\(\Large \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{(4 \pi D t)^{1/2}} e^{- \frac{x^2}{4Dt}} dx = \frac{1}{(4 \pi D t)^{1/2}} (4 \pi D t)^{1/2} =1 \)
となり，規格化されています．
次ページに，二次元の場合を考えていきましょう．